4 Grupos cristalográficos planos.

A continuación pasamos a estudiar los grupos cristalográficos planos. Recordemos que un friso se genera a partir de un motivo que se repite en una dirección dada (3.0.2). Si ahora un motivo se repite en dos direcciones distintas del plano, entonces su grupo de simetría va a ser un grupo cristalográfico.

Figura 4.1: La Alambra de Granada

Es necesario mencionar los mosaicos de la Alhambra de Granada, en donde es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano. Por ejemplo en la imagen 4.1 vemos que el área señalada por el paralelogramo rojo se repite en las dos direcciones que marcan los lados de dicho paralelogramo (recordemos que no tenemos en cuenta los colores).

Figura 4.2: Paralelogramo fundamental

Definición 4.0.1   El grupo de simetría $G$ de una figura plana, se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores linealmente independientes.

$$G\cap\mathcal{T}= \langle t_{\vec{u}}, t_{\vec{v}}\rangle= \{t_{m\vec{u}+n\vec{v}}\mid m, n\in\mathbb{Z}\}$$

donde los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente independientes y recordemos que $\mathcal{T}$ denota al grupo formado por todas las traslaciones del plano.

Los dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ al ser linealmente independientes determinan un paralelogramo, que llamaremos paralelogramo fundamental.

Hay que indicar que el paralelogramo fundamental no es único, como se ve en 4.0.2. Para calcular un paralelogramo fundamental podemos buscar dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no nulos y linealmente independientes, de norma mínima tales que las traslaciones $t_{\vec{u}}$ y $t_{\vec{v}}$ pertenecen al grupo cristalográfico.

Otra forma más intuitiva de buscar un paralelogramo fundamental es buscar un paralelogramo, digamos $ABCD$, de tal manera que:

• Si aplicamos a dicho paralelogramo las traslaciones generadas por las traslaciones de vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ obtenemos la figura completa.

• Además el paralelogramos $ABCD$ tiene sus lados lo más pequeños posible

Figura 4.3: Regiones que son (dcha.) y no son (izda.) paralelogramos fundamentales

Por ejemplo en la figura 4.3 los dos paralelogramos marcados a la izquierda generan la figura completa al aplicarles traslaciones, es decir satisfacen la primera condición, pero sus lados no son del tamaño mínimo, como se puede ver en los tres cuadrados a la derecha, que sí que son paralelogramos fundamentales.

4.0.2   Como hemos podido observar en la figura 4.3, el paralelogramo fundamental no es único, de hecho cualquier traslación suya es de nuevo un paralelogramo fundamental. Pero también puede haber otros paralelogramos que no se obtengan por una traslación.

Figura 4.4: Otros paralelogramos fundamentales

En la figura 4.4 los tres rombos marcados son paralelogramos fundamentales.

Observemos que, en cualquier caso, si tenemos un paralelogramo fundamental $ABCD$ entonces las traslaciones de vectores $AB$ y $AC$ generan las traslaciones que contiene el grupo de simetría. Es decir, en la definición de grupo cristalográfico (4.0.1) tenemos que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ y $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$.

Nos preguntamos a continuación qué tipo de movimientos, además de las traslaciones mencionadas, puede contener un grupo cristalográfico plano. Como primer criterio veamos qué tipo de giros pueden aparecer. Recordemos que un giro pertenece al grupo de simetría de una figura, si al efectuar dicho giro la figura completa no varía.

Figura 4.5: Giros en grupos cristalográficos

En las tres imágenes de la figura 4.5 vemos marcados los centros de los giros que aparecen en los grupos de simetría de cada imagen. En la imagen de la izquierda aparecen giros de orden (2.1.7) 6, 3 y 2 (ángulos $\frac{\Pi}{3}$, $\frac{2\Pi}{3}$ y $\Pi$ respectivamente). En la imagen del centro sólo aparecen giros de orden 3 (ángulos $\frac{2\Pi}{3}$). Y en la imagen de la derecha aparecen giros de orden 4 y 2 (ángulos $\frac{\Pi}{2}$ y $\Pi$).

Definición 4.0.3   Sea $G$ un grupo cristalográfico plano. Diremos que un punto $P$ del plano es un centro de orden $n$ de $G$ si el giro $g_{P,\frac{2\Pi}{n}}$ de centro $P$ y orden $n$ (2.1.7) pertenece al grupo $G$.

En las tres imágenes de la figura 4.5 vemos que aparecen centros de ordenes 6, 3 y 2 (izquierda), 3 (centro), 4 y 2 (derecha). El orden de los giros que pueden aparecer en un grupo cristalográfico plano viene determinado por el siguiente teorema:

Teorema 4.0.4   Restricción cristalográfica. Sea $G$ un grupo cristalográfico plano y sea $n$ el máximo orden de los giros que aparecen en $G$, entonces $n$ toma alguno de los valores siguientes:

$$n=1,2,3,4,6$$

Además si $P$ es cualquier centro en $G$ con orden $m$ entonces $n$ es un múltiplo de $m$.

Es decir, no pueden aparecer giros de orden mayor que 6 ni giros de orden 5, esta última restricción es la llamada restricción cristalográfica.

De la última afirmación de 4.0.4 concluimos que si un grupo cristalográfico tiene giros de orden 4 entonces no puede haberles de orden 3 ni 6.

Observemos que el giro de orden uno es la identidad, ya que el ángulo de dicho giro sería $2\Pi$.

Al igual que hicimos con los grupos de frisos, pretendemos dar una clasificación de los grupos de cristalográficos planos.

Teorema 4.0.5   Sólo hay 17 grupos cristalográficos planos esencialmente distintos. Los denotaremos por un símbolo formado por cuatro letras y números denominada notación internacional. que describimos en 4.1. En la tabla siguiente les agrupamos según conserven o no la orientación y los giros que aparecen:

Giros de orden	Conserva la orientación	No conserva la orientación
1	p111	c1m1, p1m1, p1g1
2	p211	c2mm, p2mm, p2mg, p2gg
3	p311	p3m1, p31m
4 y 2	p411	p4mm, p4gm
6, 3 y 2	p611	p6mm

También se encuentra en la literatura otra notación para los grupos cristalográficos, que utiliza la letra $W$ seguida de un subíndice, a la que se añade un superíndice si el grupo no conserva la orientación. El subíndice indica siempre el orden máximo de los giros que aparecen en cada grupo. La correspondencia con la notación cristalográfica internacional es la siguiente:

p111=$W_{1}$	c1m1=$W_{1}^1$, p1m1=$W_{1}^2$, p1g1=$W_{1}^3$
p211=$W_{2}$	c2mm=$W_{2}^1$, p2mm=$W_{2}^2$, p2mg=$W_{2}^3$, p2gg=$W_{2}^4$
p311=$W_{3}$	p3m1=$W_{3}^1$, p31m=$W_{3}^2$
p411=$W_{4}$	p4mm=$W_{4}^1$, p4gm=$W_{4}^2$
p611=$W_{6}$	p6mm=$W_{6}^1$

Queremos describir cada uno de los grupos cristalográficos planos, que hemos enumerado en las tablas anteriores. Como se ve en la tabla, el primer criterio que hay que mirar es el máximo orden de los giros que aparecen en el grupo cristalográfico. Pero antes de dar una descripción exhaustiva vamos a explicar qué significan las cuatro letras y números que componen la notación cristalográfica.