3 Frisos.

En los frisos ornamentales existe un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección. Por ejemplo en la figura 3.1 vemos tres detalles de balcones de la ciudad de Valladolid.

Figura 3.1: Balcones de Valladolid

$F$
$F'$
$F''$

Es fácil observar que en cada uno de los frisos de 3.1 hay un motivo que se repite en la dirección del friso. Consideremos los grupos de simetría de los frisos $F$, $F'$ y $F''$ de la figura 3.1 y denotemosles respectivamente por $G$, $G'$ y $G''$. Al considerar cada friso, suponemos que no está limitado, es decir que continua indefinidamente tanto hacia a la izquierda como a la derecha. Por lo tanto en los tres grupos de simetría hay traslaciones. Observemos que, además de las traslaciones mencionadas, pueden aparecer otros movimientos en cada grupo de simetría considerado:

 

• En $G$ hay simetrías respecto de rectas verticales.
• El grupo $G'$ no contiene ningún tipo de simetrías, los unicos movimientos que contiene son traslaciones.
• El grupo $G''$ contiene simetrías respecto de rectas verticales, al igual que en $G$, pero además contiene la simetría respecto de la recta horizontal que divide el friso en dos partes iguales. Observemos que $G''$ también contiene giros de ángulo $\Pi$.

Nos interesa estudiar cuántos tipos posibles de grupos de simetría pueden aparecer. Veremos que sólo hay siete grupos de frisos posibles (3.0.5) y daremos un método para clasificarlos (3.3.1).

 

3.0.1   Si $\vec{u}$ es un vector del plano $\mathbb{R}^2$, el grupo generado por la traslación de vector $\vec{u}$, $t_{\vec{u}}$, está formado por todos los múltiplos enteros de dicha traslación:

 

$$\langle t_{\vec{u}}\rangle=\{t_{n\vec{u}}\mid n\in\mathbb{Z}\}$$

 

Este grupo se denomina grupo cíclico infinito y se suele denotar por $C_{\infty}$.

 

Consideremos un motivo que se repita en un friso. La traslación que lleva dicho motivo sobre una de sus repeticiones deja invariante el friso y por lo tanto también cualquier múltiplo entero de la mencionada traslación. Es decir, todas esas traslaciones son movimientos de su grupo de simetría. Observemos también, en los ejemplos, que hay una recta horizontal que queda invariante por los movimientos de cada uno de los grupos de simetría $G$, $G'$ y $G''$. De hecho estas dos condiciones anteriores caracterizan a los frisos y dan lugar a la siguiente definición:

 

Definición 3.0.2   Denotemos por $\mathcal{T}$ el grupo formado por todas las traslaciones del plano. Un grupo de simetría $G$ de una figura plana, se dice que es el grupo de un friso si las traslaciones que contiene $G$ son un grupo cíclico infinito, es decir, están generadas por una traslación

 

$$G\cap\mathcal{T}= \langle t_{\vec{u}}\rangle= \{t_{n\vec{u}}\mid n\in\mathbb{Z}\}$$

 

donde $\vec{u}$ es un vector fijo. Además $G$ ha de dejar invariante una recta, que se denomina recta centro del friso.

 

Observemos que la recta centro ha de tener la dirección del vector $\vec{u}$. Además el vector $\vec{u}$ es el vector no nulo de norma mínima tal que la traslación $t_{\vec{u}}$ pertenece a $G$.

Es claro de la definición y de la observación anterior, que los grupos $G$, $G'$ y $G''$ son grupos de un friso. Observemos también que $G'$ es un grupo que conserva la orientación (2.1.6), mientras que $G$ y $G''$ no conservan la orientación porque contienen simetrías.

 

3.0.3   El grupo de un friso ha de dejar invariante a la recta centro del friso, por lo tanto los únicos movimientos que puede contener son de los tipos siguientes:

• La identidad (este movimiento siempre está en un grupo de simetría).
• Traslaciones en la dirección de la recta centro.
• Giros con centro un punto de la recta centro y ángulo $\Pi$.
• La simetría respecto de la recta centro.
• Simetrías respecto de rectas perpendiculares a la recta centro.
• Simetría con deslizamiento con eje la recta centro y deslizamiento en la dirección de dicha recta.

De hecho los movimientos listados arriba forman el grupo de simetría de una recta del plano.

 

 

Definición 3.0.4   Dada una figura cuyo grupo de simetría es un friso, llamamos vector fundamental $\vec{u}$ al vector no nulo y de norma mínima tal que la traslación $t_{\vec{u}}$ pertenece al grupo de simetría. Llamamos rectángulo fundamental a cualquier rectángulo que contenga al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector fundamental.

 

Por ejemplo en el friso de la figura 3.2, los dos rectángulos marcados son rectángulos fundamentales.

Figura 3.2: Rectángulos fundamentales

Es fácil deducir, que si tenemos un rectángulo fundamental, cualquier traslación suya en la dirección de la recta centro del friso es también un rectángulo fundamental.

Nos proponemos dar una clasificación de todos los grupos de frisos posibles. Para ello nos basamos en el siguiente teorema:

Teorema 3.0.5   Sólo hay siete grupos de frisos esencialmente distintos, que denotamos por la letra $F$ seguida de un subíndice, que denota el orden de los giros que aparecen, y añadimos un superíndice si el grupo no conserva la orientación (2.1.6).

Giros de orden 2	Conserva la orientación	No conserva la orientación
NO	$F_{1}$	$F_{1}^1$, $F_{1}^2$, $F_{1}^3$
SI	$F_{2}$	$F_{2}^1$, $F_{2}^2$

 

Sin ánimo de dar una demostración de este resultado, vamos a describir a continuación cada uno de los grupos de un friso y al final dar un método para poder clasificarles (3.3.1).